آموزشگاه تخصصی ریاضی ویژن
آموزش تابع دوسویی
در ریاضیات یک تابع دوسویی1 (یا تناظر یک به یک2) به تابعی میان اعضای دو مجموعه گفته می‌شود به شرط این‌ که هر عضو از هر مجموعه با دقیقا یک عضو از مجموعه دیگر جفت شده باشد. در هیچ‌کدام از مجموعه‌ها هیچ عضو بدون جفتی وجود ندارد.
هر تابع دو‌سویی از مجموعه‌ی X به مجموعه‌ی Y دارای یک تابع وارون از Y به X است. اگر این دو مجموعه متناهی باشند در این صورت وجود تناظر یک‌به‌یک میان اعضای آن‌ها نشان‌دهنده‌ی این است که تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است. در مورد مجموعه‌های نامتناهی این تناظر‌ها باعث به وجود آمدن مفهوم اعداد کاردینال شدند که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌های متفاوت هستند.
هر تابع دو‌سویی از یک مجموعه به خود آن مجموعه جایگشت نام دارد.
توابع دوسویی برای بسیاری از مباحث ریاضی ابزاری ضروری هستند. به عنوان مثال: تعاریف یک‌ریختی و همسان‌ریختی.
تعریف
برای این‌ که تابع f از مجموعه X و به مجموعه‌ی Y دو‌سویی باشد باید چهار شرط زیر برقرار باشند:
-- هر عضو مجموعه‌ی ‌X باید با حداقل یک عضو مجموعه‌ی Y جفت‌شده‌باشد،
-- هیچ عضو X نباید با بیش از یک عضو Y جفت‌شده‌باشد،
-- هر عضو مجموعه‌ی ‌Y باید با حداقل یک عضو مجموعه‌ی X جفت‌شده‌باشد و
-- هیچ عضو Y نباید با بیش از یک عضو X جفت‌شده‌باشد.
شرط‌ های یک و دو تضمین می‌کنند که f تابعی با دامنه‌ی X است. شرط‌ های یک و دو گاهی به صورت یک شرط هم نوشته می‌شوند: باید هر عضو مجموعه‌ی X دقیقا با یک عضو از مجموعه‌ی Y جفت شود. توابعی که شرط سوم را دارا هستند توابع پوشا نام دارند. شرط چهارم هم تعریف توابع یک‌به‌یک است. با توجه به این عبارت می‌توان نتیجه گرفت که:
یک تابع دوسویی است اگر و فقط اگر هم یک‌به‌یک باشد هم پوشا.
مثال
معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است. با بررسی ۴ شرط تعریف می‌توان نتیجه گرفت که با جفت کردن هر دانش‌آموز با صندلیش می‌توان تناظر یک‌به‌یک میان دانش‌آموزان و صندلی‌ها ایجاد کرد:
-- تمام دانش‌آموزان نشسته‌اند (هیچ‌کدام سرپا نیست)،
-- هیچ دانش‌آموزی روی بیش از یک صندلی ننشسته است.
-- تمام صندلی‌ها پر هستند و
-- روی هیچ صندلی بیش از یک نفر ننشسته است.
پس میان دانش‌آموزان وصندلی‌ها تناظر یک‌به‌یک برقرار است و در نتیجه تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است.
مثال دیگر بازیکنان فوتبال (یا هر ورزش دیگر) و جایگاه آن‌ها در زمین بازی است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با جفت کردن هر بازیکن با جایگاهش تناظر به دست‌ می‌آید. چون ۴ شرط فوق برآورده می‌شوند.

مطالب مرتبط :
آموزش تابع دوسویی آموزش مفاهیم ریاضی با مثال مثال تابع دوسویی

VISION